Імітаційні моделі розвитку хвороб рослин

ЗМІСТ

 

Вступ…………………………………………………………………………....………….3

1 Дослідження функціонування розвитку хвороб рослин…..…...............................…..4

1.1. Імітаційне моделювання ………………............……………………….……….4

1.2 Приклад дослідження найпростішої моделі епідемії……………….……...….6

2 Формалізація задачі……………………………....………………………..................…8

2.1 Вибір оптимального програмного середовища...................................................8

2.2 Вхідні та вихідні змінні. Змінні стану та управління.……………....….……...8

2.3 Побудова математичної моделі розвитку картоплі при впливі на неї хвороби………………………………………………………………………….….…9

3 Моделювання різних режимів функціонування екосистеми......................................12

3.1 Моделювання функціонування екосистеми у Mathcad Professional...............12

4 Аналіз результатів моделювання. Оптимізація або оптимальне управління функціонуванням екосистеми…..................................................................................…15

Висновки……………………………………..…………………………......…………….21

Список літератури..…………..……………………………...……………...........……...22

ВСТУП

 

Запропонована курсова робота присвячена проблемі епідемій та керування ними.

Модель, що зроблена за допомогою імітаційного моделювання дає змогу прогнозувати зміни видового складу різних екосистем, їхню кількість і біомасу до 600 років за різних умов. Модель можна використовувати для перевірки екологічних потреб окремих видів, аналізу залежностей від параметрів навколишнього середовища.

Імітаційні моделі розвитку хвороб рослин використовують, коли прагнуть зрозуміти функціонування системи, оперуючи знаннями про її окремі частини і зв'язки між цими частинами.

Імітаційне моделювання застосовується до процесів, в хід яких може час від часу втручатися людина. Людина, що керує операцією, може в залежності від сформованих обставин, приймати ті чи інші рішення. В даному випадку для імітаційного моделювання були вибрані дерева в саду, що з часом уражуються різними хворобами.

Актуальність роботи полягає у пошуку рішення проблеми контролю за епідемією захворювання серед дерев у саду. За допомогою проведення імітаційного моделювання розвитку епідемії хвороб дерев на основі математичної моделі.

Метою даної курсової роботи є  проводення прогнозування за допомогою імітаційного моделювання і в результаті підібрати правильне керування розвитком хвороби, щоб зменшити її швидкість дії та якщо можливо взагалі видалити хворобу.

Завдання курсової роботи – побудувати імітаційну математичну модель за допомогою якої  дослідити розвиток епідемії захворювання серед дерев.

 

1 ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІОНУВАННЯ ЕПІДЕМІЙ

 

1.1 Імітаційне моделювання

 

Імітаційне моделювання - це метод, що дозволяє будувати моделі процесів, що описують, як ці процеси проходили б насправді.

Техніка моделювання в екології почалась від моделювання балансу енергії та матерії в екологічних системах.

Модель, що зроблена за допомогою імітаційного моделювання дає змогу прогнозувати зміни видового складу різних екосистем, їхню кількість і біомасу до 600 років за різних умов. Модель можна використовувати для перевірки екологічних потреб окремих видів, аналізу залежностей від параметрів навколишнього середовища.

Імітаційне моделювання застосовується при просторовому поширенні хвороб, епідемій та ін. Для цього використовують різні моделі : від імітації епідемії простими гравітаційними моделями, до використання систем диференційних рівнянь, що імітують просторово - часові поширення епідемій.

Основними методами імітаційного моделювання є:

  1. аналітичний метод;
  2. метод статичного моделювання;
  3. комбінований метод (аналітико-статистичний).

Аналітичний метод застосовується для імітації процесів в основному для малих і простих систем, де відсутній фактор випадковості. Наприклад, коли процес їхнього функціонування описаний диференціальними або інтегродиференціальних рівняннями. Метод названий умовно, так як він поєднує можливості імітації процесу, модель якого отримана у вигляді аналітично замкнутого рішення, або рішення отриманого методами обчислювальної математики.

Метод статистичного моделювання спочатку розвивався як метод статистичних випробувань (Монте-Карло). Це - чисельний метод, що складається в отриманні оцінок ймовірних характеристик, співпадаючих з рішенням аналітичних завдань (наприклад, з рішенням рівнянь і обчисленням певного інтеграла). У наслідку цього метод став застосовуватися для імітації процесів, що відбуваються в системах, усередині яких є джерело випадковості або які схильні до випадковим впливам. Він отримав назву методу статистичного моделювання.

Комбінований метод (аналітико-статистичний) дозволяє об'єднати аналітичний та статистичний методи моделювання. Він застосовується у разі розробки моделі, що складається з різних модулів, що представляють набір як статистичних так і аналітичних моделей, які взаємодіють як єдине ціле. Причому в набір модулів можуть входити не тільки модулі відповідні динамічним моделями, але і модулі відповідні статичним математичним моделям.[1]

При конструюванні моделі будь - якого фізичного об'єкту на початку розробляється його фізична модель, у якій описується принцип дії. Потім розробляється математична модель, у якій установлюються кількісні залежності між вхідними і вихідними параметрами об'єкту. На основі математичної моделі розробляється обчислювальна модель, що представляє собою програму для ЕОМ. Маючи обчислювальну модель, можна проводити обчислювальний експеримент - дослідження характеристик об'єкту шляхом багаторазового виконання програми обчислювальної моделі при різних вихідних даних.

Якщо рух та перетворення інформації в рамках обчислювальної моделі імітує фізичні процеси в об'єкті моделювання, то обчислювальний експеримент називається імітаційним моделюванням.

При процесі розробки моделювання, якщо результати обчислювального експерименту радикально не узгоджуються з результатами фізичного експерименту, то висувається нова гіпотеза фізичної моделі. Якщо результати обчислювального експерименту узгоджуються з результатами фізичного експерименту, але похибка перевищує допустимі норми, то коректується математична модель. Якщо ж процес моделювання недостатньо робастної і вимагає від користувача багато трудових витрат, а від ЕОМ - великих ресурсів, то потрібне коригування обчислювальної моделі.[2]

1.2 Приклад дослідження найпростішої моделі епідемії

 

Вважаємо, що x1(t) - кількість уражених рослин (або, наприклад, популяція шкідників) в момент часу t ≥ 0; захворювання розповсюджується зі швидкістю f(t) (швидкість зміни розміру популяції - розмноження або навпаки); одужання (зміна розміру популяції ) відбувається зі швидкістю, Пропорційній кількості уражених рослин (розміром популяції). Нехай v1 - ефективний обсяг (кількість) рослин. Нехай кількість уражених рослин зменшується за інтервал часу  від  - відома стала.

Наближене рівняння, що описує ці зміни, для малих значень Δ має вигляд:

                                                            (1.1)

Нехай x1 (t) є досить гладкою функцією часу, тоді можна записати

                                                                                        (1.2)

в результаті (1.1) переходить в лінійне диференціальне рівняння

                                                                                             (1.3)

де k1 називають постійною швидкостю.

Нехай x1(0) = с1 - початкова кількість уражених рослин. Легко отримати аналітичне рішення рівняння (1.3) з еквівалентного співвідношення

                                                                                              (1.4)

Звідси

                                                                                              (1.5)

Відзначимо, що лінійність процесу дозволяє стверджувати, що миттєва захворюваність є сумою двох ефектів, обумовлених початковій поражаемостью і швидкістю поширення захворювання.

Якщо захворювання не поширюється, то число уражених рослин експоненціально зменшується, якщо початкова кількість уражених рослин дорівнює 0, то справедливо

                                                                                           (1.6)

Якщо f(s)=cons=α, то (1.6) набуде вигляду:

                                                                                                  (1.7)

Якщо спостерігається зміна кількості уражених рослин, тоді можна дати найпростішу інтерпретацію досліджуваного процесу.[3]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ФОРМАЛІЗАЦІЯ ЗАДАЧІ

 

2.1 Вибір оптимального програмного середовища

 

Основною задачею курсової роботи є відображення розвитку епідемії при певних параметрах. Щоб знайти оптимальне рішення забезпечення стійкості досліджуваної екосистеми побудуємо математичну імітаційну модель залежності процесів розвитку хвороби серед дерев у саду при різних параметрах

Для вирішення поставленої задачі необхідно обрати оптимальний програмний продукт, який володіє можливостями необхідними для реалізації математичних моделей, що описують складні системи як антропогенного так і природного характеру. До таких пакетів належать: Mathcad, Exeеl, Model Vision Studium та інші.

Mathcad Professional дозволяє інтегрувати традиційний запис математичних формул, графіків і текст у єдиному інтерактивному робочому листі, а також включає ряд функцій такі, як статистика, комбінаторика та ін. Mathcad залишається єдиною системою, у якій опис розв’язання математичних задач задається за допомогою звичайних математичних формул і знаків. Mathcad дозволяє виконувати як чисельні, так і аналітичні (символьні) обчислення, має надзвичайно зручний математико-орієнтований інтерфейс і досить досконалу наукову графіку [4].

Методом реалізації математичних моделей також є метод імітаційного моделювання Model Vision Studium. Даний програмний пакет має потужну базу для проведення обчислень та візуалізацію, має вмонтовану бібліотеку класів, що можна використовувати при побудові власних моделей. Але найважливішою умовою являється можливість використання елементів управління при динамічній візуалізації результатів виконання моделі [4].

 

2.2 Вхідні та вихідні змінні. Змінні стану та управління

 

Для імітаційного моделювання епідемій та керування ними використовуємо модель розвитку епідемії захворювання дерев в саду.

Математична модель, за допомогою якої проводитимемо дослідження, оперування і керування має вхідні та вихідні змінні та змінні стану, які характеризують дану модель якісно та кількісно. Саме вхідні данні є задаючими у керуванні системою і характеризують зовнішні впливи на входи системи. Вхідні дані запропонованої моделі представлені  такими величинами:

  1. N – кількість здорових дерев;
  2. α – коефіціент, що визначається емпірично;
  3. x(t0) – залежність x від початкового часу

Змінні стану – це внутрішні змінні, сукупність яких повністю характеризує сукупність системи. Вихідні змінні представляють реакції на зовнішній вплив. Вихідні змінні характеризують результати керування системою, які проводитиметься при коригуванні вхідних змінних. Вихідними змінними моделі – є x(t) – число джерел інфекції в момент часу. Саме чисельність джерел інфекції залежатиме від t - часу. Результати матимуть вирішальне значення у пошуку та підтримці прийняття оптимального рішення.

 

2.3 Побудова математичної моделі розвитку епідемії серед дерев у саду

 

Нехай в саду було N + 1 здорових дерев. У момент часу t = to з'явилося одне уражене. Припустимо, що ніякого видалення ураженого дерева немає (немає ні одужання, ні загибелі, ні ізоляції). Спробуємо отримати модель розвитку епідемії в цьому саду.

Позначимо число джерел інфекції в момент часу t - x (t) число ще здорових - y (t). Тоді x(t) + y(t) = N + 1 у будь-який момент часу, a x(to) = 1, to - 0.

Розглянемо малий інтервал часу [t, t + Δt]. Оцінимо скільки уражених дерев з'явиться за цей проміжок часу. Припустимо, що їх чисельність буде пропорційна величині Δt, а також коефіцієнту розповсюдження епідемії, тобто Δх ≈ αx(t) y(t),

α - коефіцієнт, що визначається емпірично.

Тоді має місце:

                                                                            (2.1)

В результаті приходимо до нелінійного рівняння виду

                                                                              (2.2)

визначає чисельність уражених дерев у момент часу t.

Для вирішення рівняння введемо заміну . Тоді

                                                                                                      (2.3)

отже,

                                                                                      (2.4)

яке є лінійним неоднорідним рівнянням. Його рішення може бути представлено у вигляді суми загального рішення однорідного рівняння та приватного неоднорідного, тобто

                                           ,                         (2.5)

де с - довільна постійна.

Звідси, зробивши зворотну заміну,

                                                                                           (2.6)

Визначимо постійну с з початкового умови. Тобто, маючи x (0) = 1, отримаємо

                                                                                                                       (2.7)

отже,

                                                                                                                      (2.8)

Тоді

                                                                                                             (2.9)

На основі даних таблиця 2.1 розвитку епідеміії серед дерев з яких можна проаналізувати отриманий результат. У початковий момент x(t) = 1. При зростанні t знаменник в (2.9) убуває, тобто x(t) збільшується (рисунок 2.9).

Таблиця 2.1 – Початкові вхідні значення досліджуваної моделі

 

Параметр

Значення

N

1000

α

0,000085

t0

0

t

0.....1000

x(t0)

1

 

 

Рисунок 2.9 - Розвиток епідемії при N=1000

 

Розглянемо як змінюється швидкість збільшення числа уражених дерев. Для цього вивчимо величину

                                                                  (2.10)

Чисельник в (2.10) звертається в нуль при

Отже, при швидкість збільшення числа уражених дерев позитивна, при  негативна. Тоді функція швидкості зростання числа уражених дерев зростає аж до моменту , а потім убуває.

 

3 Моделювання різних режимів функціонування

екосистеми

 

3.1 Моделювання функціонування екосистеми у Mathcad Professional

 

Моделювання розвитку епідемій в Mathcad Professional використовуємо запропоновану модель розвитку хвороби дерев в саду (рисунок 2.9), яку розглядаємо за допомогою трьох рівнять, що розглядались вище в (2.2, 2.9, 2.10).

Для створення імітаційної математичної моделі розвитку хвороби дерев в саду в пакеті Mathcad Professional вводимо наступні параметри (рисунок 3.1):

 

Рисунок 3.1 - Вхідні змінні та змінні стану

 

Рисунок 3.2 - Лістінг моделі епідемії в математичному пакеті MathCad

Рисунок 3.3 - Задання рівняння динаміки розвитку хвороби серед дерев

 

Аналізуючи дані дві моделі (рисунок 3.2, 3.3) можна зробити висновок, що при зростанні t число джерел інфекції х(t) збільшується однаково.

 

 

 

 

 

 

 

 

Розглянемо як змінюється швидкість збільшення числа уражених дерев за допомогою рівняння (2.10). При тих самих вхідних параметрах (рисунок 3.1).

 

рисунок 3.4 – Модель розвитку епідемії, що показує швидкість збільшення числа уражених дерев у момент часу t

 

У результаті, отримана модель розвитку епідемії (рисунок 3.4), незважаючи на її грубість, показує розвиток процесу (на початку епідемії число уражених рослин різко зростає, а потім швидкість поширення захворювання повільно але зростає).

 

 

4 АНАЛІЗ РЕЗУЛЬТАТІВ МОДЕЛЮВАННЯ. ОПТИМІЗАЦІЯ ФУНКЦІОНУВАННЯ ЕКОСИСТЕМИ

 

Модель Mathcad Professional дозволяє спостерігати інтенсивність розвитку епідемії.

Для того, щоб дати об’єктивну оцінку інтенсивності розвитку епідемії серед дерев та можливості ними керувати потрібно дослідити кілька випадків.

 

Рисунок 4.1 – Модель розвитку епідемії серед дерев з початковими даними

Рисунок 4.2 - Модель розвитку епідемії при зміні вхідних параметрів таких як

N – 600 і α – 0,000056

 

         Розглядаючи (рисунок 4.1 та 4.2) можемо зробити висновок, що при зміні вхідних параметрів хвороба серед дерев в саду зростає але не так стрімко.

Рисунок 4.3 - Задання рівняння динаміки розвитку хвороби серед дерев з початковими параметрами

 

Рисунок 4.4 - Задання рівняння динаміки розвитку хвороби серед дерев

зі зміненими параметрами

 

         Розглядаючи (рисунок 4.3 та 4.4) можемо зробити висновок, що при зміні параметрів таких як N – 150, α – 0,00023 та t = 0...400 епідемія серед дерев у саду різко зростає та швидко уражує всі дерева.

 

 

рисунок 4.5 – Модель розвитку епідемії, що показує швидкість збільшення числа уражених дерев у момент часу t при початкових даних

 

рисунок 4.6 – Модель розвитку епідемії, що показує швидкість збільшення числа уражених дерев у момент часу t

 

         Розглядаючи (рисунок 4.5 та 4.6) можемо зробити висновок, що при зміні параметру N – 167 (кількість дерев у саду) модель розвитку епідемії, що показує більшу кількість уражених дерев ніж їх є у саду.

         Розглянувши усі випадки можемо зробити висновок, що при зміні параметрів N, α, t хвороба уражуе всі дерева, але при різній швидкості поширення захворювання.

 

 

Висновки

 

У представленій курсовій роботі було досліджено наступне:

  1. Досліджено розвиток епідемії на прикладі хвороб дерев у саду.
  2. Сформульована задача та обрано модель, що найбільш оптимально описувала досліджуваний процес.
  3. За допомогою програмного забезпечення Mathcad Professional змодельовано різні режими функціонування досліджуваної системи, зокрема, інтенсивність розвитку епідемії серед дерев залежить від кількості дерев у саду, часу та α – коефіцієнт, що визначається емпірично.
  4.  Із досліджених моделей було зроблено висновок, зокрема, те, що при зміні параметрів хвороба уражуе дерева, але при різній швидкості поширення захворювання у саду.

 

 

 

Список Літератури

  1. Хемди А.Т. Глава 18. Имитационное моделирование, введение в исследование операций - 7-е изд. - М.: «Вильямс», 2007. - С. 697-737.
  2. Ханнон Б., Рут М. Моделювання динамічних біологічних систем. Нью-Йорк, 2001.
  3. Адамень Ф. Ф., Вергунов В. А., Вергунові И. И. Основы математического моделирования агробиопроцессов. – К.: Нора-принт, 2005. – 372 с.
  4. Мокін В.Б., Мокін Б.І. Математичні моделі та програми для оцінювання якості річкових вод. – Вінниця: Універсум-Вінниця, 2000. – 152 с.
Види навчальних матеріалів: 
Оцінка: 
0
No votes yet