Дослідження кисневого режиму і деструкції органічних речовин за моделлю фелпса-стрітера для відкритих систем

ЗМІСТ

Вступ

1 Дослідження функціонування кисневого режиму і деструкції органічних речовин у водній екосистемі

1.1 Загальна характеристика кисневого режиму

1.2 Загальна характеристика деструкції органічної речовини

2 Формалізація задачі. Вхідні та вихідні змінні. Змінні стану та управління. Методи та Алгоритми їх оцінювання. побудова математичної моделі екосистеми

2.1 Вибір програмного продукту

2.2 Вхідні та вихідні змінні. змінні стану та управління

3 Моделювання різних режимів Функціонуваня системи. Аналіз результатів моделювання. Оптимізація функціонування екосистеми

Висновки

Список літератури

 

 

ВСТУП

 

Запропонована курсова робота присвячена дослідженню кисневого режиму і деструкції органічних речовин та керування ними.

Модель, що зроблена за допомогою математичного моделювання дає змогу прогнозувати зміни якісного та кількісного складу різних екосистем,  їх вміст наявність за різних умов. Модель можна використовувати для перевірки екологічних потреб окремих показників, аналізу залежностей від параметрів навколишнього середовища.

Актуальність роботи полягає у пошуку рішення проблеми контролю формування якості води і стану водних екосистем. За допомогою проведення математичного моделювання вмісту розчиненого кисню і наявної кількості органічних речовин на основі математичної моделі.

Метою даної курсової роботи є  проведення прогнозування за допомогою моделювання і в результаті підібрати правильне керування розвитком процесів формування якості води і стан водних екосистем, є наявність у воді розчиненого кисню та наявність органічних речовин.

Завдання курсової роботи – побудувати математичну модель Фелпса-Стрітера для відкритих систем за допомогою якої  дослідити кисневий режим та деструкцію органічних речовин.

 

1 ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІОНУВАННЯ КИСНЕВОГО РЕЖИМУ І ДЕСТРУКЦІЇ ОРГАНІЧНИХ РЕЧОВИН У ВОДНІЙ ЕКОСИСТЕМІ

 

Важливим фактором, що істотно впливає на процеси формування якості води і стан водних екосистем, є наявність у воді розчиненого кисню (РК). Визначення кисневого режиму поверхневих вод є важливою складовою оцінки стану водних екосистем та водозбірних територій. Концентрація у воді РК входить в число основних інтегральних показників, що характеризують якість поверхневих вод як одного з найцінніших природних ресурсів. Участь кисню в процесах біологічного, хімічного та фізико-механічного самоочищення водних об’єктів вказує на те, що оцінка концентрації розчиненого кисню має велике практичне і загальнонаукове значення. Кисень відіграє велику роль не тільки в підтримці існуючих форм життя в різних водних об’єктах, але й в процесах трансформації речовин, що потрапляють у поверхневі води зі стічними водами урбанізованих  і промислових територій, а також зі стоками сільськогосподарських і тваринницьких комплексів. В останні роки у зв’язку з посиленим антропогенним пресом кисневий режим багатьох рік, водосховищ, каналів та озер України є дедалі напруженішим, збільшуються частота і тривалість заморних явищ, при цьому значна кількість РК витрачається на розкладання (деструкцію) органічних речовин, що легко окислюються. Мірою кількості у воді органічної речовини та інтенсивності її деструкції є величина біохімічної потреби кисню (БПК). Враховуючи те, що існує тісний зв’язок між концентрацією в воді розчиненого кисню і наявністю органічної речовини, велике значення при дослідженні гідробіологічних і гідрохімічних процесів має використання математичних моделей РК-БПК [1, 2].

 

 

 

 

1.1 Загальна характеристика кисневого режиму

 

Для екологічної оцінки водойм застосовуються різноманітні показники стану водних екосистем. Одним із них є кисневий режим – чутливий показник рівня забруднення природних вод. Кисень використовується при розкладанні розчинених органічних речовин, відмерлих рослин і тварин. При цьому складні органічні речовини перетворюються на прості (СО2, воду, азот) і знову включаються в кругообіг речовин у гідросфері. У воді можуть утворюватися сполуки кисню з іншими хімічними елементами. Більшість таких сполук (оксидів) прямо або опосередковано взаємодіє з водою, утворюючи гідроксиди, які належать до різних класів неорганічних сполук. Тому не дивно, що вміст розчиненого у воді кисню входить в коло основних показників, що визначають поверхневі води як ресурс. Ні одна система моніторингу якості води не обходиться без визначення концентрації кисню, ні одна екологічна модель не може бути досить повною, якщо в ній не враховується динаміка розчиненого кисню [1].

Прогнозування кисневого режиму водойм, що зазнають змін у гідрологічному режимі під час експлуатації гідротехнічних споруд, є складовою частиною екологічної оцінки. Гідрологічний режим визначає швидкість надходження кисню у воду з атмосфери, а також значно впливає на інтенсивність фотосинтезу та швидкість поглинання кисню донними відкладами. Тому він відіграє за будь-яких інших рівних умов визначальну роль у кисневому режимі водних об’єктів і розглядається в роботі як визначальний фактор для прогнозування кисневого режиму. Питання кількісної оцінки утворення кисню за рахунок фотосинтезу, а також визначення впливу життєдіяльності різних видів водних організмів на кисневий режим водних об’єктів з одним із найскладніших при математичному моделюванні процесів формування якості води, зокрема кисневого режиму. Тому ці питання потребують більш детального вивчення , внаслідок чого з’ясувати можливість і доцільність урахування згаданих факторів при розрахунку самоочисної спроможності (СС) різних водних об’єктів, особливо при розрахунку СС в малозабруднених водоймах , де процеси фотосинтезу можуть відігравати вирішальне значення в оновленні розчиненого у воді кисню [2].

Концентрація розчиненого у воді кисню є одним із найважливіших гідрохімічних параметрів, що визначає інтенсивність окисно-відновних біохімічних процесів, які відбуваються у водоймах. Тому кисневий режим, і вміст кисню у воді та його динаміку часто приймають як інтегральний показник стану водних екосистем і якості води в них. Кисневий режим водойми залежить від температури води. Великий вплив на вміст розчиненого кисню у водоймищі надає величина початкового забруднення. Одним з показників вмісту у воді органічних речовин є величина БСК (біохімічне споживання кисню), яка відображує не кількість органічної речовини, а кількість кисню, яка потрібна для окислення цієї речовини біологічним шляхом. Від початкової БСК значно залежить величина падіння вмісту кисню. Розчинений кисень у очищених стічних водах надає вплив на вміст розчиненого кисню у річковій воді нижче точки скиду стічних вод, а у випадку поганої аерації річкової води відсутність розчиненого кисню у очищених стічних водах може привести до появи анаеробних умов нижче за течією річки. Отже, скид недостатньо очищених вод, які визначаються за БСК, може бути причиною значного забруднення, якщо у стічній воді відсутній розчинений кисень. Але, з іншої сторони, аерація залежить від гідрогеологічних умов водоймища, які сприяють перемішуванню води. Тому у деяких випадках раціонально приймати міри до штучного підвищення величини аерації шляхом улаштування на відповідних ділянках водоймища перепадів або інших інженерних споруд, які покращують перемішування та аерацію води. Кисневий режим взимку обумовлений надходженням збідненої киснем води. Найбільш гострий дефіцит кисню виникає в період льодоставу, коли біохімічне та хімічне споживання є досить істотним, фотосинтетична аерація низька або зовсім відсутня, а атмосферна аерація припинена внаслідок льодового покриву. Влітку кисневий режим досить не стабільний.

Причини – низька концентрація у воді, що надходить у водосховище, та переважання процесів деструкції органічної речовини над її продукцією, Значний внесок у зменшення концентрації розчиненого у воді кисню в річковій ділянці водосховища належить витратам його на процеси самоочищення водного середовища в умовах інтенсивного антропогенного забруднення основного русла і придаткової мережі [2].

 

1.2 Загальна характеристика деструкції органічної речовини

 

Переважання продукції над деструкцією, яке супроводжується значним збільшенням у біотопі вмісту поживних речовин, називають евтрофікацією. В природних водоймах процеси евтрофікації зазвичай відбуваються повільно - віками й тисячоліттями, оскільки продукція, як і в наземних біогеоценозах, майже врівноважується деструкцією. Проте сьогодні під впливом діяльності людини евтрофікація водного середовища відбувається передусім через скидання у водойми багатих на біогенні елементи стічних вод або надходження цих елементів у водне середовище із затоплених родючих ґрунтів унаслідок створення величезних рівнинних водосховищ.
Швидку евтрофікацію водойм, яка відбувається під впливом людини, називають антропогенною евтрофікацією [1].

Найважливішим внутрішньоводоймним процесом утворення органічної речовини, з яким пов’язане і самозабруднення водойм, є фотосинтез фітопланктону, фітобентосу та вищої водяної рослинності. Останнім належить виключно важлива роль не тільки в розкладанні, а й в утворенні органічної речовини. У процесі функціонування водних екосистем значна частина розчиненої і завислої органічної речовини виноситься із стоком води та розкладається в процесі деструкції (мінералізації). Продукція і деструкція органічної речовини характеризують функціональний стан водних екосистем. Рівень і спрямованість продукційно-деструкційних процесів залежать перш за все від ступеню розвитку фітопланктону та умов його вегетації. Синтезована органічна речовина є основою трофічної піраміди, по якій розподіляються потоки енергії у водних екосистемах. Саме органічна речовина автотрофних організмів забезпечує функціонування вищих (наступних) трофічних рівнів, біотичний кругообіг речовин і потік енергії в екосистемах. У кінцевому підсумку формується біологічна продуктивність водних екосистем. В залежності від рівня утворення первинної продукції їх поділяють на оліготрофні (малопродуктивні), мезотрофні (середньопродуктивні), евтотрофні (високопродуктивні) і гіперевтрофні (надмірно продуктивні). Для функціонування водних екосистем важливе значення має співвідношення первинної продукції органічної речовини (А - assimilation), при якому енергія накопичується, до деструкції (R - reduction) або сумарного дихання гідробіонтів (respiration), в процесі якого відбувається деструкція органічної речовини і розсіяння енергії [2].

Деструкція органічної речовини характеризує функціональний стан водних екосистем. Біохімічна трансформація речовин відбувається в результаті їх включення в трофічні мережі і здійснюється в ході процесів деструкції. Рівень і спрямованість деструкційних процесів залежать перш за все від ступеню розвитку фітопланктону та умов його вегетації. Автотрофна продукція і гетеротрофна деструкція - дві найважливіші сторони перетворення речовини й енергії у водних екосистемах. Головну роль у деструкції органічних речовин відіграє бактеріоперифітон - бактеріальна плівка, що розвивається на підвідній частині вищої водної рослинності. Біогенні елементи асимілюються вищою водною рослинністю, накопичуються в надводній її частині і кореневій системі, що дозволяє надовго виключити їх з водного середовища. Характер і інтенсивність деструкційних процесів і, отже, механізм біохімічного самоочищення визначаються структурою конкретної екосистеми. Тому вони можуть істотно розрізнятися в різних водних об'єктах. Мірою кількості і воді органічної речовини та інтенсивності її деструкції є величина біохімічної потреби кисню (БПК). БПК є не тільки одним з важливих показників забруднення води органічними речовинами, оскільки БПК нееквівалентне загальній концентрації органічних сполук, присутніх у воді. Такій концентрації еквівалентна хімічна потреба води в кисні (ХПК) і тільки у тому випадку, коли ця органічна речовина окислюється біхроматом. Тому БПК складає лише частину ХПК: для одних органічних речовин така частина може бути більшою, для інших – меншою. Якщо для побутових стічних вод ця частина майже не змінюється, то для промислових стічних вод вона може коливатися в межах від кількох процентів до величин, близьких до 100%. Для речовин які не здатні до біохімічного окислення, БПК дорівнює нулю. БПК дозволяє дізнатися тільки про здатність органічних речовин, що перебувають у воді, до біохімічного окислення та про зниження концентрації розчиненого у воді кисню [1, 2].

Біохімічне окислення речовин поділяється на дві фази. У першій фазі відбувається окислення вуглецю до СО2 та водню до Н2О. У другій фазі здійснюється в основному окислення амонійних сполук до нітратів. Тому, як правило, за допомогою БПК характеризують першу фазу біохімічного окислення органічних речовин,  яка пов’язується з утворенням СО2 і Н2О. Таким чином, БПК характеризує частку органічної речовини, яка використовується мікроорганізмами на покриття своїх енергетичних потреб, тобто БПК може бути тільки якоюсь частиною ХПК.

Для водних зон з підвищеними швидкостями характерні інтенсивні процеси перемішування, газообміну і деструкції речовин. У водоймах екологічна зональність виявляється чіткіше, ніж у водотоках Зі збільшенням глибини, у міру зниження фотосинтетичної активної радіації (ФАР) відбувається зменшення інтенсивності фотосинтезу. Глибина, при якій продукція стає рівна деструкції, називається компенсаційним обрієм. У водоймах можна виділити зони з перевагою фотосинтетичної продукції і зони, де йдуть тільки процеси деструкції речовин. В зимовий і літній періоди, часто спостерігаються анаеробні умови, що знижує інтенсивність процесів самоочищення. Навпаки, у літоралі температурний і кисневий режими сприятливі для інтенсивного протікання процесів самоочищення.

Дефіцит кисню призводить до посилення деструкційних процесів і збільшення збільшення частки низькомолекулярних сполук. Кисневий режим є одним із найважливіших чинників, що впливає на міграцію, трансформацію і розподіл органічних речовин між донними відкладами і водою. У свою чергу, зміни вмісту і компонентного складу органічних речовин слугують показниками оцінки біологічного і хімічного стану поверхневих водойм [2].

 

 

 

2 ФОРМАЛІЗАЦІЯ ЗАДАЧІ. ВХІДНІ ТА ВИХІДНІ ЗМІННІ. ЗМІННІ СТАНУ ТА УПРАВЛІННЯ. МЕТОДИ ТА АЛГОРИТМИ ЇХ ОЦІНЮВАННЯ. ПОБУДОВА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ЕКОСИСТЕМИ

 

2.1 Вибір програмного продукту

 

У курсовій роботі ми моделюємо модель кисневого режиму  і деструкції органічної речовини. Щоб знайти оптимальне рішення забезпечення стійкості досліджуваної водної екосистеми побудуємо математичну модель Фелпса-Стрітера для відкритих систем. Для вирішення поставленої задачі необхідно обрати оптимальний програмний продукт, який володіє можливостями необхідними для реалізації математичних моделей, що описують складні системи як антропогенного так і природного характеру. До таких пакетів належать: Mathcad, Exeеl, Model Vision Studium та інші [3].

Методом реалізації математичних моделей також є метод імітаційного моделювання Model Vision Studium. Даний програмний пакет має потужну базу для проведення обчислень та візуалізацію, має вмонтовану бібліотеку класів, що можна використовувати при побудові власних моделей. Але найважливішою умовою являється можливість використання елементів управління при динамічній візуалізації результатів виконання моделі [4].

Mathcad Professional дозволяє інтегрувати традиційний запис математичних формул, графіків і текст у єдиному інтерактивному робочому листі, а також включає ряд функцій такі, як статистика, комбінаторика. Mathcad залишається єдиною системою, у якій опис розв’язання математичних задач задається за допомогою звичайних математичних формул і знаків. Mathcad дозволяє виконувати як чисельні, так і аналітичні (символьні) обчислення, має надзвичайно зручний математико-орієнтований інтерфейс і досить досконалу наукову графіку. Тому для реалізації даної моделі будемо користуватися програмним пакетом Mathcad Professional [4].

2.2 Вхідні та вихідні змінні. Змінні стану та управління

 

Основна задача в даній курсовій роботі - це дослідити, зробити певні дослідження математичних систем кисневого режиму і деструкції органічних речовин у водній екосистемі. Оскільки цей процес є досить динамічним, то найбільш ефективними способами реалізації математичної моделі є методи Фелпса-Стрітера, для відкритих систем, виконаний у Mathcad, Model Vision Studium. Дані програмні пакети мають потужну базу для проведення обчислень та візуалізації, що можна використати при побудові власних моделей [3].

Класичним результатом в області математичного моделювання кисневого режиму і деструкції органічних речовин є дослідження Стрітера та Фелпса, які для описання динаміки БПК і РК запропонували таку систему рівнянь:

                                    (2.1)

 

                           (2.2)

 

де СБПК – концентрація органічної речовини, що вимірюється в одиницях кисню;

СРК – концентрація розчиненого у воді кисню;

k1 – константа швидкості біохімічного окислювання;

k2  - константа аерації;

СРК* - концентрація насиченого кисню у воді.

Процес деструкції органічної речовини в закритій екосистемі. Більш детальніше розглянемо рівняння для визначення коефіцієнта (сталої) швидкості біохімічного розкладу k1 та коефіцієнта аерації k2, рівняння має вигляд:

 

                                         (2.3)

 

         (2.4)

 

де CБПК0 - початкова концентрація відповідно органічної речовини і розчиненого у воді кисню при t=t0.

Після логарифмування лівої і правої частин рівняння (2.3) одержимо

 

                                  (2.5)

 

де t – час, що відлічується від деякого початкового моменту , при якому концентрація СБПК дорівнює нулю, до моменту t, при якому концентрації СБПК дорівнює СБПКt [5].

Досліджувана система у нас відкрита, тобто із зовні в дану систему поступає органічна речовина зі швидкістю Q0, то динаміка розчиненого кисню у воді (РК) і органічної речовини (БПК) опишеться такою системою рівнянь:

                                (2.6)

 

                    (2.7)

 

Математична модель, за допомогою якої проводитимемо дослідження, оперування і керування має вхідні та вихідні змінні та змінні стану, які характеризують дану модель якісно та кількісно. Саме вхідні данні є використаними у керуванні системою і характеризують зовнішні впливи на входи системи. Вхідні дані запропонованої моделі представлені такими величинами:

CБПК – концентрація органічної речовини;

СБПК(0) – початкова концентрація органічної речовини;

СРК(0) – початкова концентрація розчиненого у воді кисню;

Q0 – швидкість з якою поступає органічна речовина в систему.

Вихідні змінні представляють реакції на зовнішній вплив. Вихідні змінні характеризують результати керування системою, які проводитимуться при коригуванні вхідних змінних. Вихідними змінними моделі є наступна величина:

СРК(t) – концентрація розчиненого кисню при деякому моменті часу t.

Результати матимуть вирішальне значення у пошуку та підтримці прийняття оптимального рішення [4].

Але найважливішим у нашому випадку являється можливість використання елементів управління при динамічній візуалізації результатів виконання моделі Фелпса-Стрітера для відкритих систем, основне рівняння якої має вигляд:

 

    (2.8)

3 МОДЕЛЮВАННЯ РІЗНИХ РЕЖИМІВ ФУНКЦІОНУВАНЯ СИСТЕМИ. АНАЛІЗ РЕЗУЛЬТАТІВ МОДЕЛЮВАННЯ. ВИБІР ОПТИМАЛЬНОГО РЕЖИМУ

 

Використовуючи дану математичну модель і обране програмне забезпечення Mathcad було реалізовано дану модель. Розроблено програмний інструмент, дозволяє здійснювати обчислення концентрації розчиненого кисню за вхідними даними та здійснювати графічну інтерпретацію отриманих результатів. Модель отримана за допомогою Mathcad дозволила нам побачити розподіл концентрації розчиненого кисню в залежності від таких показників: початкової концентрації органічної речовини, біохімічного розкладання кисню, коефіцієнта аерації [4,6].

Структура запропонованої моделі буде виглядати наступним чином (Рисунок 3.1):

 

 

 

 

                           k1

                           k2                                                                                         СРК(t)

                     CБПК0

 

Рисунок 3.1 – Структура моделі Фелпса-Стрітера для відкритих систем

 

Функціонування водної екосистеми представлене за допомогою Mathcad Professional (рис. 3.2):

 

Рисунок 3.2 - Задання рівняння Фелпса-Стрітера для відкритих систем у Mathcad Professional

 

Проаналізувавши основні складові моделі можна зробити висновок про те, що керувати в даній моделі потрібно наступними параметрами: початковою концентрацією органічної речовини, біохімічним розкладанням кисню, коефіцієнтом аерації. Проаналізуємо дані параметри моделі та проілюструємо їх графічно. Ці зміни видно на рисунках 3.3 – 3.8.

Аналізуючи дану модель видно, що при зміні вихідних буде спостерігатися пряма або обернено пропорційна залежність концентрація розчиненого кисню. Тому графік за початкових умов має такий вигляд (рис. 3.3):

 

Рисунок 3.3 – Графік за початкових умов

 

При збільшені початкової концентрації органічної речовини СБПК(0)=500, збільшується концентрація розчиненого кисню, спостерігається прямо пропорційна залежність (рис. 3.4).

 

Рисунок 3.4 – Графік при збільшенні СБПК(0)

 

При зменшенні початкової концентрації органічної речовини СБПК(0)=15, то концентрація розчиненого кисню зменшиться, тобто буде спостерігатися обернена залежність (рис. 3.5).

 

Рисунок 3.5 – Графік при зменшенні СБПК(0)

 

Розглянемо випадок, коли швидкість біохімічного розкладу збільшиться k1=10, концентрація розчиненого кисню залишиться не змінною, це свідчить про те що система є стійкою (рис.  3.6).

 

Рисунок 3.6 – Модель при збільшені швидкість біохімічного розкладу

 

Розглянемо випадок, коли швидкість біохімічного розкладу зменшити k1=0,2, концентрація розчиненого кисню зміниться, але не вагомо. Це свідчить про те, що система згладиться і буде стійкою (рис. 3.7).

 

Рисунок 3.7 – Модель при зменшенні швидкість біохімічного розкладу

 

 

Процес аерації у водній системі сприяє процесам перемішування води, та вмісту розчинного. У випадку поганої аерації може бути відсутній розчинений кисень в екосистемі, і навпаки у процесі позитивної аерація, може спостерігатися надлишок концентрації розчиненого кисню у водоймі.

Розглянемо випадок, коли коефіцієнт аерації зменшити k2=0,1, концентрація розчиненого кисню зміниться. Це свідчить про те, що система згладиться і буде не стійкою, буде спостерігатися обернена залежність (рис. 3.8).

 

Рисунок 3.8 – Модель при зменшенні коефіцієнт аерації

 

Розглянемо випадок, коли коефіцієнт аерації збільшити k2=37, концентрація розчиненого кисню зміниться, але не вагомо. Це свідчить про те, що система згладиться і буде стійкою (рис. 3.8).

Рисунок 3.8 - Модель при збільшенні коефіцієнт аерації

 

У ході моделювання різних режимів функціонування досліджуваної екосистеми був встановлений оптимальний режим, за якого об’єкт, що вивчається, а саме концентрація розчиненого кисню буде виконувати свої прямі функції оптимально. В результаті дослідження було встановлено, що оптимальним є випадок при k1=2, k2=5, Q0 =315. Досліджувана система за даними параметрами буде стійкою і матиме прямопропорційну залежність.

 

 

 

 

 

 

 

 

Висновки

 

Здійснено аналіз функціонування кисневого режиму і деструкції органічних речовин та проаналізовано основні екологічні проблеми в даному напрямку.

Також в даній роботі було проведено аналіз математичної моделі Фелпса-Стрітера для відкритих екосистем, що описують процеси розповсюдження органічних речовин, швидкість їх перемішування у водній екосистемі, вміст розчиненого кисню у воді.

Здійснено формалізацію задачі та обрано вхідні ті вихідні змінні для моделювання даної системи. Реалізовано математичну модель, що обчислює концентрацію розчиненого кисню в певний момент часу в програмному середовищі Mathcad.

Використовуючи створений програмний інструмент було проведено моделювання різних станів екосистеми та аналіз результатів даного моделювання з наступним вибором оптимального стану. Запропоновано оптимальну модель управління концентрацією розчиненого кисню у воді, а саме в залежності від умов потрапляння і концентрації можна оптимально визначити концентрацію речовини за певний час, що дає змогу керувати процесом.

Пріоритетним напрямком розвитку даного дослідження є те, що за допомогою вхідних даних ми можемо контролювати станом екосистем у водоймах, що дозволить цілісно оцінити фактори впливу концентрації розчиненого кисню на стан водних ресурсів загалом.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

 

  1. Адамень Ф. Ф., Вергунов В. А., Вергунова И. И. Основы математического моделирования агробиопроцессов. – К.: Нора-принт, 2005. – 372 с.
  2. Романенко В.Д., Оксиюк О.П., Жукинский В.Н. и др. Экологическая оценка воздействия гидротехнического строительства на водные объекты.- Киев: Наук.думка, 1990.- 256 с.
  3. Лаврик В.І. Методи математичного моделювання в екології. – К.: Вид. дім «КМ Академія», 2002. – 203 с.
  4. Мокін В.Б., Мокін Б.І. Математичні моделі та програми для оцінювання якості річкових вод. – Вінниця: Універсум-Вінниця, 2000. – 152 с.
  5. Хемди А.Т. Глава 18. Имитационное моделирование, введение в исследование операций - 7-е изд. - М.: «Вильямс», 2007. - С. 697-737.
  6. Ханнон Б., Рут М. Моделювання динамічних біологічних систем. Нью-Йорк, 2001.

 

Види навчальних матеріалів: 
Оцінка: 
0
No votes yet